Question

14．已知函数f（x）=|x+a|+|x+3|，g（x）=|x-1|+2．
（1）解不等式|g（x）|＜3；
（2）若对任意x₁∈R，都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由||x-1|+2|＜3，得3＜|x-1|+2＜3，即-5＜|x-1|＜1，然后求解不等式即可．
（2）利用条件说明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．

解答 解：（1）由||x-1|+2|＜3，得-3＜|x-1|+2＜3，即-5＜|x-1|＜1，…（2分）
所以解集为{x|或0＜x＜2} …（5分）
（2）因为任意x₁∈R，都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，
又f（x）=|x+a|+|x+3|≥|（x+a）-（x+3）|=|a-3|，
所以|a-3|≥2，解得a≥5或a≤1．…（10分）

点评 本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．