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    12．已知a＞0，函数f（x）=ax-x2．求f（x）≤1，x∈[0，1]恒成立的充要条件．

    分析 根据充要条件的定义，以及函数恒成立，即可求出a的范围．

    解答 解：因为f（x）=ax-x2，当x=0时，f（x）=0≤1成立，
    当x∈（0，1]时，f（x）≤1恒成立
    即a≤x+$\frac{1}{x}$在（0，1]上恒成立，
    又（x+$\frac{1}{x}$）min=2，此时x=1，
    所以0＜a≤2，
    当0＜a≤2时，a≤x+$\frac{1}{x}$在（0，1]上恒成立，所以f（x）≤1在（0，1]上恒成立，
    所以f（x）≤1，x∈（0，1]上恒成立的充要条件为0＜a≤2．

    点评 本题主要考查了函数恒成立问题，以及分离讨论的数学思想，属于基础题．

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