Question

3．如图在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，PC=2，E为PA的中点．
（1）求证：平面EBD⊥平面ABCD；
（2）求点E到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （1）连结DB，AC交于点O，证明OE∥PC，可得OE⊥平面ABCD，可证平面EBD⊥平面ABCD．
（2）过A作AH⊥BC于H，点A到面PBC的距离等于线段AH的长，点E到平面PBC的距离为AH的一半．

解答 解：（1）连结DB，AC交于点O，
因为四边形ABCD为菱形，∴O为AC中点，即OE∥PC，
∵PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD
∵OE?面DBE，∴平面EBD⊥平面ABCD
（2）过A作AH⊥BC于H，∵PC⊥平面ABCD，∴AN⊥面PBC，
点A到面PBC的距离等于线段AH的长，
∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，∴AH=$\sqrt{3}$
∵E为PA的中点，∴点E到平面PBC的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$

点评 本题考查了空间线面位置关系，点面距离，属于中档题．