Question

13．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，x＞1}\\{（4-\frac{a}{2}）x+2，x≤1}\end{array}\right.$的值域为R，则实数a的取值范围是（1，4]．

Answer 1

分析 f（x）是分段函数，在每一区间内求f（x）的取值范围，再求它们的并集得出值域；由f（x）的值域为R，得出a的取值范围．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，x＞1}\\{（4-\frac{a}{2}）x+2，x≤1}\end{array}\right.$，
当8＞a＞1时，f（x）=a^x，在（1，+∞）上为增函数，f（x）∈（a，+∞）；
当x≤1时，f（x）=（4-$\frac{a}{2}$）x+2，在（-∞，1]上的值域，f（x）∈（-∞，6-$\frac{a}{2}$]；
若f（x）的值域为R，则（-∞，6$-\frac{a}{2}$]∪（a，+∞）=R，
则6-$\frac{a}{2}$≥a，
即1＜a≤4；
当a∈（0，1）时，指数函数是减函数，一次函数是增函数，值域不可能为R．
当a≥8时，指数函数是增函数，一次函数是减函数，函数的值域不可能为R．
则实数a的取值范围是（1，4]．
故答案为：（1，4]．

点评 本题考查了分段函数的值域问题和分类讨论的数学思想，分段函数的值域是在区间内求出函数的取值范围，再求它们的并集即得出值域．