Question

3．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{a_n}{{1+{a_n}}}$，（n∈N^*）
（1）证明数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是等差数列，并求出通项a_n．
（2）若$\frac{2}{3}$＜a₁•a₂+a₂•a₃+a₃•a₄+…+a_n-1•a_n＜$\frac{5}{6}$，求n的值．

Answer 1

分析 （1）利用数列的递推关系式，转化推出数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是等差数列，然后求解通项公式即可．
（2）利用裂项消项法求出数列的和，然后求解不等式即可得到结果．

解答 解：$（1）\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=\frac{{1+{a_n}}}{a_n}-\frac{1}{a_n}=1（常数）$，
∴数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是等差数列，
∴$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_1}+（n-1）=n∴{a_n}=\frac{1}{n}$．
（2）${a_1}•{a_2}+{a_2}•{a_3}+{a_3}•{a_4}+…+{a_{n-1}}•{a_n}=\frac{1}{1•2}+\frac{1}{2•3}+\frac{1}{3•4}+…+\frac{1}{（n-1）•n}$
=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=1-\frac{1}{n}$，
$\frac{2}{3}＜1-\frac{1}{n}＜\frac{5}{6}∴\frac{1}{6}＜\frac{1}{n}＜\frac{1}{3}∴3＜n＜6∴n=4或n=5$．

点评 本题考查数列的递推关系式以及数列求和，不等式的解法，考查计算能力．