Question

15．设函数f（x）=x-lnx+$\frac{ax+b}{{x}^{2}}$，曲线y=f（x）在x=1处的切线为y=2．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈[1，4]时，证明：f（x）＞f′（x）+$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出a，b的值，求出函数的单调区间即可；
（2）计算出f（x）-f′（x）=x-lnx+$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$-1，令g（x）=x-lnx，h（x）=$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$-1，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）函数f（x）定义域为（0，+∞），$f'（x）=1-\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}-\frac{2b}{x^3}$，
由已知得f（1）=2，f'（1）=0，得：a=2，b=-1，
∴f′（x）=$\frac{{（x}^{2}-2）（x-1）}{{x}^{3}}$，由f′（x）＞0，得x＞$\sqrt{2}$或0＜x＜1，由f′（x）＜0，得1＜x＜$\sqrt{2}$，
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，1），（$\sqrt{2}$，+∞），单调递减区间为（1，$\sqrt{2}$）；
（2）证明：由f（x）-f′（x）=x-lnx+$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$-1，
令g（x）=x-lnx，h（x）=$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$-1，∵g′（x）=1-$\frac{1}{x}$（1≤x≤4），
∴g′（x）≥0，g（x）在[1，4]上为增函数，∴g（x）≥g（1）=1（x=1时取“=”），
而h′（x）=$\frac{-{3x}^{2}-2x+6}{{x}^{4}}$，由u（x）=-3x²-2x+6=0，得：x=$\frac{\sqrt{19}-1}{3}$，
∴1≤x＜$\frac{\sqrt{19}-1}{3}$时，u（x）＞0，$\frac{\sqrt{19}-1}{3}$＜x≤4时，u（x）＜0，
∴h（x）在（1，$\frac{\sqrt{19}-1}{3}$）为增函数，在（$\frac{\sqrt{19}-1}{3}$，4）为减函数，而h（1）=1，h（4）=-$\frac{7}{32}$，
∴h（x）≥-$\frac{7}{32}$（x=4时取“=”），
∴f（x）-f′（x）＞g（1）+h（4）=$\frac{25}{32}$＞$\frac{3}{4}$，
即：f（x）＞f′（x）+$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．