Question

4．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2CD=2AD=2．在等腰直角三角形CDE中，∠C=90°，点M，N分别为线段BC，CE上的动点，若$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=\frac{5}{2}$，
则$\overrightarrow{MD}•\overrightarrow{DN}$的取值范围是[$\frac{2\sqrt{2}-5}{2}$，-1]．

Answer 1

分析 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，可得A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，1），E（1，2），求出直线BC的方程，设M（m，2-m），N（1，n），（1≤m，n≤2），再由向量数量积的坐标表示，可得m，n的关系，可得1≤m≤$\frac{3}{2}$，再由向量数量积的坐标表示，化简$\overrightarrow{MD}•\overrightarrow{DN}$，运用换元法和基本不等式，以及函数的性质，即可得到所求最值，即有所求范围．

解答 解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，
可得A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，1），E（1，2），
直线BC的方程为y=2-x，
设M（m，2-m），N（1，n），（1≤m，n≤2），
由$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=\frac{5}{2}$，可得m+n（2-m）=$\frac{5}{2}$，
即有n=$\frac{5-2m}{2（2-m）}$∈[1，2]，
解得1≤m≤$\frac{3}{2}$，
则$\overrightarrow{MD}•\overrightarrow{DN}$=（-m，m-1）•（1，n-1）=-m+（m-1）（n-1）
=-m+$\frac{1}{2}$•$\frac{m-1}{2-m}$，
可令t=2-m（$\frac{1}{2}$≤t≤1），
则$\overrightarrow{MD}•\overrightarrow{DN}$=t-2+$\frac{1}{2}$•$\frac{1-t}{t}$
=t+$\frac{1}{2t}$-$\frac{5}{2}$≥2$\sqrt{t•\frac{1}{2t}}$-$\frac{5}{2}$=$\frac{2\sqrt{2}-5}{2}$，
当且仅当t=$\frac{1}{2t}$，即t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，m=2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，取得最小值$\frac{2\sqrt{2}-5}{2}$，
由t=1可得1+$\frac{1}{2}$-$\frac{5}{2}$=-1；t=$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{2}$+1-$\frac{5}{2}$=-1．
可得最大值为-1．
则$\overrightarrow{MD}•\overrightarrow{DN}$的取值范围是[$\frac{2\sqrt{2}-5}{2}$，-1]．
故答案为：[$\frac{2\sqrt{2}-5}{2}$，-1]．

点评 本题考查向量数量积的范围，注意运用坐标法，运用数量积的坐标表示，同时考查基本不等式的运用，考查换元法和运算化简能力，属于中档题．