Question

14．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，右焦点为F，点B（0，1）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点$（1，\frac{2}{k}]$的直线交椭圆C于M，N两点，交直线x=2于点P，设$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{MF}$，$\overrightarrow{PN}=μ\overrightarrow{NF}$，求证：λ+μ为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意b=1，利用椭圆的离心率即可求得a的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）设直线MN的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可证明λ+μ=0为定值．

解答 解：（Ⅰ）由点B（0，1）在椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上，则$\frac{1}{b^2}=1$，即b=1．
又椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
由a²=b²+c²，得$a=\sqrt{2}$．
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$…（5分）
（Ⅱ）证明：由已知得F（1，0），直线MN的斜率存在．
设直线MN的方程为y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则P（2，k）．
由$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{MF}$，$\overrightarrow{PN}=μ\overrightarrow{NF}$，得$λ=\frac{{2-{x_1}}}{{{x_1}-1}}，μ=\frac{{2-{x_2}}}{{{x_2}-1}}$，
∴$λ+μ=\frac{{2-{x_1}}}{{{x_1}-1}}+\frac{{2-{x_2}}}{{{x_2}-1}}=\frac{{3（{x_1}+{x_2}）-2{x_1}{x_2}-4}}{{{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1}}$，．
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$．
∴$3（{x_1}+{x_2}）-2{x_1}{x_2}-4=3×\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}-2×\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}-4$=$\frac{{12{k^2}-4{k^2}+4-4-8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$=0，
∴λ+μ=0为定值…（14分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用，属于中档题．