Question

6．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，且过点$（{\sqrt{3}，2}）$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过A（a，0）且相互垂直的两条直线l₁，l₂，与椭圆C的另一个交点分别为P，Q，问直线PQ是否经过定点？若是，求出该定点的坐标，否则，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值求得椭圆方程；
（2）由A点坐标，当直线PQ斜率不存在时，代入椭圆方程，求得交点坐标，当直线的斜率存在时，代入椭圆方程，利用韦达定理，向量数量积的坐标运算，即可求得定点．

解答 解：（1）由题意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，则a=$\sqrt{3}$c，b²=a²-c²=2c²，
将$（{\sqrt{3}，2}）$代入椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{3{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2{c}^{2}}=1$，解得：c=$\sqrt{3}$，
∴a=3，b²=6，
∴椭圆C的方程$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$；
（2）由A（3，0），设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
当PQ⊥x轴，不妨设两条直线l₁，l₂的斜率为1，-1，设l₁：y=x-3，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{6}=1}\end{array}\right.$，整理得：5x²-18x+9=0，解得：x=$\frac{3}{5}$，x=3，
直线l₂：y=-x+3，同理可得：解得：x=$\frac{3}{5}$，x=3，
∴直线PQ与x轴交点M（$\frac{3}{5}$，0），
当PQ与x轴不垂直时，设PQ的方程为y=k（x-m），
代入椭圆方程：$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-m）}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{6}=1}\end{array}\right.$，整理得：（6+9k²）x²-18k²mx+（9k²m²-54）=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{18{k}^{2}m}{6+9{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{9{k}^{2}-54}{6+9{k}^{2}}$，
由题意可知：$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=0，则（x₁-3，y₁）（x₂-3，y₂）=0，
整理得：（1+k²）x₁x₂-（3+k²m）（x₁+x₂）+（k²m²+9）=0，
则（1+k²）×$\frac{9{k}^{2}-54}{6+9{k}^{2}}$-（3+k²m）（$\frac{18{k}^{2}m}{6+9{k}^{2}}$）+（k²m²+9）=0，整理得：5m²-18m+9=0，
解得：m=$\frac{3}{5}$或m=3，（舍去）
∴直线PQ是否经过定点M（$\frac{3}{5}$，0）．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．