Question

9．已知A，B是圆C₁：x²+y²=1上的动点，AB=$\sqrt{3}$，P是圆C₂：（x-3）²+（y-4）²=1上的动点，则|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|的取值范围为[7，13]．

Answer 1

分析 取AB的中点D，则|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|=2|$\overrightarrow{PD}$|，|C₁D|=$\sqrt{1-\frac{3}{4}}$=$\frac{1}{2}$，根据圆的对称性，可得C₁，C₂，P，D共线时，|$\overrightarrow{PD}$|取得最值，可得结论．

解答 解：取AB的中点D，则|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|=2|$\overrightarrow{PD}$|，|C₁D|=$\sqrt{1-\frac{3}{4}}$=$\frac{1}{2}$，
根据圆的对称性，可得C₁，C₂，P，D共线时，|$\overrightarrow{PD}$|取得最值．
∵|C₁C₂|=5，∴|$\overrightarrow{PD}$|的最小值为5-1-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，最大值为5+1+$\frac{1}{2}$=$\frac{13}{2}$，
∴|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|的取值范围为[7，13]，
故答案为[7，13]．

点评 本题考查最值问题，考查向量知识的运用，正确转化是关键．