Question

19．已知函数f（x）是二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x+5；函数g（x）=a^x（a＞0且a≠1）
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（2）=$\frac{1}{4}$，且g[f（x）]≥k对x∈[-1，1]恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用关系式求出f（1），f（2），利用待定系数法求出f（x）；
（2）求出a的值，判断g（f（x））的单调性，根据单调性得出g（f（x））在[-1，1]上的最小值，从而得出k的范围．

解答 解：（1）∵f（x+1）-f（x）=2x+5，
∴f（1）-f（0）=5，f（2）-f（1）=7，
又f（0）=1，∴f（1）=6，f（2）=13．
设f（x）=mx²+bx+c，
则$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{m+b+c=6}\\{4m+2b+c=13}\end{array}\right.$，解得m=1，b=4．
∴f（x）=x²+4x+1．
（2）∵g（2）=a²=$\frac{1}{4}$，∴a=$\frac{1}{2}$．
∴g[f（x）]=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}^{2}+4x+1}$，
∵f（x）=x²+4x+1在[-1，1]上单调递增，g（x）是减函数，
∴g（f（x））在[-1，1]上是减函数，
g（f（x））在[-1，1]上的最小值为g（f（1））=g（6）=$\frac{1}{{2}^{6}}$=$\frac{1}{64}$．
∵g[f（x）]≥k对x∈[-1，1]恒成立，
∴k≤$\frac{1}{64}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，函数最值与恒成立问题，属于中档题．