Question

9．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，x∈[0，1）}\\{-（\frac{1}{2}）^{|x-\frac{3}{2}|}x∈[1，2）}\end{array}\right.$，若当x∈[-4，-2）时，不等式f（x）≥$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+$\frac{1}{2}$恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

• A． [2，3]
• B． [1，3]
• C． [1，4]
• D． [2，4]

Answer 1

分析 根据条件，求出函数f（x）在x∈[-4，-2）上的最小值，把不等式f（x）≥$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+$\frac{1}{2}$恒成立转化为f（x）的最小值大于等于$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+$\frac{1}{2}$恒成立，然后求解关于t的一元二次不等式得答案．

解答 解：当x∈[0，1）时，f（x）=x²-x∈[-$\frac{1}{4}$，0]；
当x∈[1，2）时，f（x）=-$-（\frac{1}{2}）^{|x-\frac{3}{2}|}$∈[-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴当x∈[0，2）时，f（x）的最小值为-1，
又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），
∴当x∈[-2，0）时，f（x）的最小值为-$\frac{1}{2}$，
当x∈[-4，-2）时，f（x）的最小值为-$\frac{1}{4}$，
若x∈[-4，-2]时，f（x）≥$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+$\frac{1}{2}$恒成立，
∴-$\frac{1}{4}$≥$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+$\frac{1}{2}$恒成立．
即t²-4t+3≤0，解得1≤t≤3，
∴t∈[1，3]，
故选：B．

点评 本题考查函数恒成立问题，函数的最值，考查分段函数的值域，难度较大．