Question

19．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$过点（3，2），当a²+b²取得最小值时，椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 将点代入椭圆方程，利用“1”代换，根据基本不等式的即可a和b的关系，利用椭圆的离心率即可求得

解答 解：由点在椭圆上则：$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{4}{{b}^{2}}=1$，则a²+b²=（a²+b²）（$\frac{9}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$）=9+$\frac{4{a}^{2}}{{b}^{2}}$+$\frac{9{b}^{2}}{{a}^{2}}$+4≥13+2$\sqrt{\frac{4{a}^{2}}{{b}^{2}}•\frac{9{b}^{2}}{{a}^{2}}}$≥25，
当且仅当$\frac{4{a}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{9{b}^{2}}{{a}^{2}}$，即$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴椭圆的离心率$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故选：D．

点评 本题考查椭圆的方程及椭圆的离心率，考查“1”代换，基本不等式的性质，考查转化思想，属于中档题．