Question

7．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}2x+y≤4\\ x-y≥-1\\ x-2y≤2\end{array}\right.$，则$z=\frac{x}{2}+y$的取值范围是$[-5，\frac{5}{2}]$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}2x+y≤4\\ x-y≥-1\\ x-2y≤2\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=-1}\\{x-2y=2}\end{array}\right.$，解得A（-4，-3），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=-1}\\{2x+y=4}\end{array}\right.$，解得B（1，2），
化$z=\frac{x}{2}+y$为y=-$\frac{x}{2}+z$，由图可知，当直线y=-$\frac{x}{2}+z$分别过A、B时，z有最小值和最大值分别为-5、$\frac{5}{2}$．
∴$z=\frac{x}{2}+y$的取值范围是：$[-5，\frac{5}{2}]$．
故答案为：$[-5，\frac{5}{2}]$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．