Question

12．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下面是该生7次考试的成绩．

数学	108	103	137	112	128	120	132
物理	74	71	88	76	84	81	86

（Ⅰ）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的说明；
（Ⅱ）已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求物理成绩y与数学成绩x的回归直线方程
（Ⅲ）若该生的物理成绩达到90分，请你估计他的数学成绩大约是多少？
（附：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$）

Answer 1

分析 （Ⅰ）做出物理和数学成绩的平均数，进而做出两门成绩的方差，把两个方差进行比较，得到物理的方差小于数学的方差，所以物理成绩更稳定．
（Ⅱ）根据上一问做出的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，把样本中心点代入求出a的值，写出线性回归方程；
（Ⅲ）把所给的物理的成绩代入预报出数学的成绩．

解答 解：（Ⅰ）$\overline{x}$=120，$\overline{y}$=80，
∴数学的方差是$\frac{1}{7}$（144+289+289+64+64+144）=142，
物理的方差是$\frac{1}{7}$（36+81+64+16+16+1+36）=$\frac{250}{7}$，
从而物理的方差小于数学的方差，所以物理成绩更稳定．                            
（Ⅱ）由于x与y之间具有线性相关关系，
∴$\widehat{b}$=$\frac{497}{994}$=0.5，$\widehat{a}$=80-0.5×120=20
∴线性回归方程为y=0.5x+20
（Ⅲ）当y=90时，x=140
即该生物理是90分时，数学成绩是140．

点评 本题考查线性回归方程的求法和应用，考查判断两组数据的稳定性的方法，本题解题的关键是正确运算出结果．