Question

2．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若$\frac{|AF|}{|BF|}=\frac{1}{2}$，则双曲线的离心率为2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 方法一、运用两渐近线的对称性和条件，可得A为BF的中点，由垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可得Rt△OAB中，∠AOB=$\frac{π}{3}$，求得渐近线的斜率，运用离心率公式即可得到；
方法二、设过左焦点F作$y=-\frac{b}{a}x$的垂线方程为$y=\frac{a}{b}（x+c）$，联立渐近线方程，求得交点A，B的纵坐标，由条件可得A为BF的中点，进而得到a，b的关系，可得离心率．

解答 解法一：当b＞a＞0时，由$\frac{|AF|}{|BF|}=\frac{1}{2}$，可知A为BF的中点，由条件可得
$\frac{|OA|}{|OB|}=\frac{1}{2}$，
则Rt△OAB中，∠AOB=$\frac{π}{3}$，
渐近线OB的斜率k=$\frac{b}{a}$=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
即离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$=2．
同理当a＞b＞0时，可得e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
解法二：设过左焦点F作$y=-\frac{b}{a}x$的垂线方程为$y=\frac{a}{b}（x+c）$
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{a}{b}（x+c）}\\{y=-\frac{b}{a}x}\end{array}}\right.$，解得，${y_A}=\frac{ab}{c}$，
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{a}{b}（x+c）}\\{y=\frac{b}{a}x}\end{array}}\right.$，解得，y_B=$\frac{abc}{{b}^{2}-{a}^{2}}$，
又$\frac{|AF|}{|BF|}=\frac{1}{2}$，∴y_B=2y_A∴b²=3a²，
所以离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$=2．
同理当a＞b＞0时，可得e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的性质和应用，主要是离心率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量共线的合理运用．