Question

14．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1\;（a＞0）$，F₁，F₂分别是其左、右焦点，以F₁F₂为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点F₁且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是$（-\frac{1}{4}，0）$，求线段AB长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，分析可得b=c=1，计算可得a的值，代入椭圆的方程即可得答案；
（2）根据题意，设直线AB的方程为y=k（x+1），与$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$联立可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为M（x₀，y₀），由根与系数的关系分析可得直线AB的垂直平分线方程，由弦长公式可以表示|AB|，计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，因为以F₁F₂为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点，
所以b=c=1，
即a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
即椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
（2）根据题意，过点F₁且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，即直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y=k（x+1），
与$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$联立，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为M（x₀，y₀），
${x_1}+{x_2}=-\frac{{4{k^2}}}{{1+3{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{2{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，
${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+1）+k（{x_2}+1）=\frac{2k}{{1+2{k^2}}}$，
即$M（-\frac{{2{k^2}}}{{1+2{k^2}}}，\frac{k}{{1+2{k^2}}}）$，
设直线AB的垂直平分线方程为$y-\frac{k}{{1+2{k^2}}}=-\frac{1}{k}（x+\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}）$，
令y=0，得${x_p}=\frac{{-{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，
因为${x_p}∈（-\frac{1}{4}，0）$，所以$0＜{k^2}＜\frac{1}{2}$$|AB|=\sqrt{（1+{k^2}）[{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}•{x_2}}]}=\sqrt{（1+{k^2}）[{{{（-\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}）}^2}-4\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}}]}$
=$\frac{{2\sqrt{2}•（1+{k^2}）}}{{1+2{k^2}}}=\sqrt{2}（1+\frac{1}{{1+2{k^2}}}）∈（\frac{{3\sqrt{2}}}{2}，2\sqrt{2}）$；
即线段AB长的范围是（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，2$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出椭圆的标准方程．