Question

11．已知△ABC中，$AB=1，BC=\sqrt{3}，BD$是AC边上的中线．
（1）求$\frac{sin∠ABD}{sin∠CBD}$； 
（2）若$∠A=\frac{2π}{3}$，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）利用△ABD的面积与△CBD的面积相等，即$\frac{1}{2}•AB•BD•sin∠ABD=\frac{1}{2}•BC•BD•sin∠CBD$，即可求$\frac{sin∠ABD}{sin∠CBD}$；
（2）利用余弦定理，AB²+AC²-2•AB•AC•cos∠A=BC²，解得AC=1，又因为D是AC的中点，所以$AD=\frac{1}{2}$，即可求出BD的长．

解答 解：（1）因为BD是AC边上的中线，所以△ABD的面积与△CBD的面积相等，
即$\frac{1}{2}•AB•BD•sin∠ABD=\frac{1}{2}•BC•BD•sin∠CBD$，
所以$\frac{sin∠ABD}{sin∠CBD}=\frac{BC}{AB}=\sqrt{3}$．                                                      …（6分）
（2）在△ABC中，因为AB=1，$BC=\sqrt{3}$，
利用余弦定理，AB²+AC²-2•AB•AC•cos∠A=BC²，解得AC=-2（舍）或AC=1，
又因为D是AC的中点，所以$AD=\frac{1}{2}$，
在△ABD中，BD²=AB²+AD²-2•AB•AD•cos∠A，
所以$BD=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$．                                                               …（12分）

点评 本题考查余弦定理，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．