Question

2．已知$f（x）={e^x}-\frac{x}{4}$，其中e为自然对数的底数
（1）设g（x）=xf'（x）（其中f'（x）为f（x）的导函数），判断g（x）在（0，+∞）上的单调性
（2）若F（x）=lnx-af（x）+1无零点，试确定a的范围．

Answer 1

分析 （1）对函数f（x）求导后知g（x），对g（x）求导后得到单调性．
（2）利用导函数求得F（x）的单调性及最值，然后对a分情况讨论，利用F（x）无零点分别求得a的取值范围，再取并集即可．

解答 解：（1）$f'（x）={e^x}-\frac{1}{4}，g（x）=xf'（x）=x（{e^x}-\frac{1}{4}）$，
∴$x＞0，g'（x）=（x+1）{e^x}-\frac{1}{4}＞{e^x}-\frac{1}{4}＞1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}＞0$，
∴g（x）在（0，+∞）单调递增
（2）$F'（x）=\frac{1}{x}-af'（x）=\frac{{a（\frac{1}{a}-g（x））}}{x}$
又g（0）=0，g（x）在（0，+∞）单调递增，
∴存在唯一x₀∈（0，+∞）使F'（x₀）=0且x∈（0，x₀），F'（x）＞0，
x∈（x₀，+∞），F'（x）＜0，
∴F（x）在（0，x₀）递增，（x₀，+∞）递减，
∴F_max（x）=F（x₀）=lnx₀-af（x₀）+1，其中$a=\frac{1}{{g（{x_0}）}}$
又x→0₊，F（x）→-∞，
∴F（x）=lnx-af（x）+1无零点等价于F（x₀）＜0
记$G（x）=lnx-\frac{f（x）}{g（x）}+1$，
∴$G'（x）=\frac{f（x）g'（x）}{{{g^2}（x）}}$
易知x＞0时，f（x）＞0，
∴G'（x）＞0，
∴G（x）在（0，+∞）单调递增，且G（1）=0，
∴0＜x₀＜1
又$\frac{1}{a}=g（{x_0}）∴0＜\frac{1}{a}＜e-\frac{1}{4}$，
∴$a＞\frac{1}{{e-\frac{1}{4}}}$=$\frac{4}{4e-1}$，
故a的取值范围为（$\frac{4}{4e-1}$，+∞）

点评 本题考查函数的综合应用，求极值和最值，主要考查求最值的方法和函数的单调性的运用，运用转化思想方法是解题的关键．