Question

17．某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示．
（1）根据茎叶图中的数据完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？

	购买意愿强	购买意愿弱	合计
20-40岁
大于40岁
合计

（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，记抽到的2人中年龄大于40岁的市民人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：${k^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.010	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （1）由茎叶图能完成2×2列联表，由列联表求出K²≈3.46＜3.841，从而得到没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关．
（2）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为$\frac{5}{20}$=$\frac{1}{4}$，所以年龄在20～40岁的抽取了2人，年龄大于40岁的抽取了3人，则X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）由茎叶图可得：

	购买意愿强	购买意愿弱	合计
20～40岁	20	8	28
大于40岁	10	12	22
合计	30	20	50

由列联表可得：K²=$\frac{50（20×12-10×8）^{2}}{30×20×28×22}$≈3.46＜3.841，
所以，没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关． …（6分）
（2）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为$\frac{5}{20}$=$\frac{1}{4}$，
所以年龄在20～40岁的抽取了2人，年龄大于40岁的抽取了3人，
则X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
所以分布列为

X	0	1	2
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{10}$

数学期望为E（X）=0×$\frac{1}{10}$+1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{3}{10}$=$\frac{6}{5}$．  …（12分）

点评 本题考查茎叶图、独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．