Question

9．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=-x²+ax．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若函数f（x）为R上的单调减函数，
①求a的取值范围；
②若对任意实数m，f（m-1）+f（m²+t）＜0恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （I）当x＜0时，-x＞0，由已知表达式可求f（-x），根据奇函数性质可求f（x）；
（II）①借助二次函数图象的特征及奇函数性质可求a的范围；
②利用奇函数性质及单调递减性质可去掉不等式中的符号“f”，进而可转化为函数最值问题处理．

解答 解：（I）当x＜0时，-x＞0，又因为f（x）为奇函数，
所以f（x）=-f（-x）=-（-x²-ax）=x²+ax，
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+ax，x≥0}\\{{x}^{2}+ax，x＜0}\end{array}\right.$．
（II）①当a≤0时，对称轴x=$\frac{a}{2}$≤0，所以f（x）=-x²+ax在[0，+∞）上单调递减，
由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同，所以f（x）在（-∞，0）上单调递减，
所以a≤0时，f（x）在R上为单调递减函数，
当a＞0时，f（x）在（0，$\frac{a}{2}$）递增，在（$\frac{a}{2}$，+∞）上递减，不合题意，
所以函数f（x）为单调减函数时，a的范围为a≤0．
②f（m-1）+f（m²+t）＜0，∴f（m-1）＜-f（m²+t），
又f（x）是奇函数，∴f（m-1）＜f（-t-m²），
又因为f（x）为R上的单调递减函数，所以m-1＞-t-m²恒成立，
所以$t＞-{m}^{2}-m+1=-（m+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{5}{4}$恒成立，所以t＞$\frac{5}{4}$，
即实数t的范围为：（$\frac{5}{4}$，+∞）．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查不等式恒成立问题，考查学生分析问题解决问题的能力．