Question

4．已知函数 f（ x）=x ³-bx ²+2cx的导函数的图象关于直线 x=2对称．
（1）求 b的值；
（2）若函数 f（ x）无极值，求 c的取值范围；
（3）若 f（ x）在 x=t处取得极小值，求此极小值为 g（ t）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导函数，根据导函数的图象关于直线x=2对称，可知-$\frac{-2b}{6}$=2，从而可求b的值；
（2）函数f（x）无极值，即导函数为0的方程至多有一解，从而可求c的取值范围；
（3）由（2）知，c＜6，f'（x）=0有两个异实根x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，则x₁＜2＜x₂，易得f（x）在x=x₁处取极大值，在x=x₂处取极小值，且x₂＞2，可知函数g（t）的定义域为（2，+∞），根据f'（t）=3t²-12t+2c=0得2c=-3t²+12t．从而可得g（t）=f（t）=t³-6t²+（-3t²+12t）t=-2t³+6t²，再利用函数g（t）在区间（2，+∞）内是减函数，可求函数g（t）的取值范围．

解答 解：（1）f'（ x）=3 x ²-2 bx+2 c，
∵f'（ x）关于直线 x=2对称，
∴$\frac{b}{3}$=2，即 b=6．
（2）由（1）知 f（ x）=x ³-6 x ²+2 cx，
f'（ x）=3 x ²-12 x+2 c=3（ x-2）²+2 c-12，
当2 c-12≥0，即 c≥6时，f'（ x）≥0，此时 f（ x）无极值．
（3）当 c＜6时，f'（ x）=0有两个相异实根为 x ₁，x ₂，
不妨设 x ₁＜x ₂，则 x ₁＜2＜x ₂，
当 x＜x ₁时，f'（ x）＞0，f（ x）在（-∞，x ₁）上单调递增，
当 x ₁＜x＜x ₂时，f'（ x）＜0，f（ x）在（ x ₁，x ₂）上单调递减，
当 x＞x ₂时，f'（ x）＞0，f（ x）在（ x ₂，+∞）上单调递增，
∴f（ x）在 x=x ₁处取得极大值，在 x=x ₂处取得极小值，
所以 t=x ₂＞2，
∴f'（ t）=3 t ²-12 t+2 c=0得
2 c=-3 t ²+12 t，
∴g（ t）=f（ t）=t ³-6 t ²+（-3 t ²+12 t） t
=-2 t ³+6 t ²，t∈（2，+∞），
而 g'（ t）=-6 t ²+12 t=-6 t（ t-2）＜0，
∴g（ t）在（2，+∞）上单调递减，
∴g（ t）＜g（2）=-2•2 ³+6-2 ²=8，
∴g（ t）＜8．

点评 本题以导函数为载体，考查导函数的性质，考查利用导数求函数的极值，同时考查了函数的定义域与值域，综合性强．