Question

19．数列{a_n}的前n项和为S_n，已知${a_1}=\frac{1}{2}，{S_n}={n^2}{a_n}-n（{n-1}），n=1，2，…$
（1）写出S_n与S_n-1的递推关系式（n≥2），并求出S₂，S₃的值；
（2）求S_n关于n的表达式．

Answer 1

分析 （1）由${S_n}={n^2}{a_n}-n（{n-1}）$（n≥2）得：${S_n}={n^2}（{S_n}-{S_{n-1}}）-n（{n-1}）$，可得$\frac{n+1}{n}{S_n}-\frac{n}{n-1}{S_{n-1}}=1$，对n≥2成立．
（2）利用“累加求和”方法即可得出．

解答 解：（1）由${S_n}={n^2}{a_n}-n（{n-1}）$（n≥2）得：${S_n}={n^2}（{S_n}-{S_{n-1}}）-n（{n-1}）$，即$（{n^2}-1）{S_n}-{n^2}{S_{n-1}}=n（{n-1}）$，
所以$\frac{n+1}{n}{S_n}-\frac{n}{n-1}{S_{n-1}}=1$，对n≥2成立．
由递推公式可先得出${s_1}=\frac{1}{2}，{s_2}=\frac{4}{3}，{s_3}=\frac{9}{4}$；
（2）猜测${S_n}=\frac{n^2}{n+1}$，
由$\frac{n+1}{n}{S_n}-\frac{n}{n-1}{S_{n-1}}=1$，$\frac{n}{n-1}{S_{n-1}}-\frac{n-1}{n-2}{S_{n-2}}=1$，…，$\frac{3}{2}{S_2}-\frac{2}{1}{S_1}=1$，
相加得：$\frac{n+1}{n}{S_n}-2{S_1}=n-1$，又${S_1}={a_1}=\frac{1}{2}$，
所以${S_n}=\frac{n^2}{n+1}$，当n=1时，也成立．

点评 本题考查了数列递推关系、“累加求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．