Question

7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin²$\frac{B-C}{2}+sinBsinC=\frac{1}{4}$．
（Ⅰ） 求角A的大小；
（Ⅱ） 若b+c=2，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得$cos（B+C）=\frac{1}{2}$，由0＜B+C＜π，可求$B+C=\frac{π}{3}$，进而可求A的值．
（Ⅱ）根据余弦定理，得a²=（b-1）²+3，又b+c=2，可求范围0＜b＜2，进而可求a的取值范围．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知得$\frac{1-cos（B-C）}{2}+sinBsinC=\frac{1}{4}$，（2分）
化简得$\frac{1-cosBcosC-sinBsinC}{2}+sinBsinC=\frac{1}{4}$，
整理得$cosBcosC-sinBsinC=\frac{1}{2}$，即$cos（B+C）=\frac{1}{2}$，（4分）
由于0＜B+C＜π，则$B+C=\frac{π}{3}$，
所以$A=\frac{2π}{3}$．（6分）
（Ⅱ）根据余弦定理，得${a^2}={b^2}+{c^2}-2bc•cos\frac{2π}{3}$（8分）
=b²+c²+bc
=b²+（2-b）²+b（2-b）
=b²-2b+4
=（b-1）²+3．（10分）
又由b+c=2，知0＜b＜2，可得3≤a²＜4，
所以a的取值范围是$[\sqrt{3}\;，\;2）$．（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．