Question

17．已知椭圆C₁的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线${C_2}：\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$的顶点，直线$x+\sqrt{2}y=0$与椭圆C₁交于A，B两点，且点A的坐标为$（-\sqrt{2}，1）$，点P是椭圆C₁上的任意一点，点Q满足$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{AP}=0$，$\overrightarrow{BQ}•\overrightarrow{BP}=0$．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）求点Q的轨迹方程；
（3）当A，B，Q三点不共线时，求△ABQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用双曲线的标准方程及其性质与椭圆的定义、标准方程及其性质即可得出．
（2）利用椭圆的标准方程及其性质、向量坐标运算性质、数量积运算性质可得点P坐标，代入椭圆C₁方程即可得出．
（3）点Q（x，y）到直线AB：$x+\sqrt{2}y=0$的距离为$\frac{{|x+\sqrt{2}y|}}{{\sqrt{3}}}$．△ABQ的面积为$S=\frac{1}{2}\sqrt{{{（\sqrt{2}+\sqrt{2}）}^2}+{{（-1-1）}^2}}•\frac{{|x+\sqrt{2}y|}}{{\sqrt{3}}}$=$|x+\sqrt{2}y|=\sqrt{{x^2}+2{y^2}+2\sqrt{2}xy}$．利用基本不等式的性质可得最大值．再与椭圆的标准方程联立即可得出．

解答 解：（1）∵双曲线${C_2}：\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$的顶点为${F_1}（-\sqrt{2}，0）$，${F_2}（\sqrt{2}，0）$，
∴椭圆C₁两焦点分别为${F_1}（-\sqrt{2}，0）$，${F_2}（\sqrt{2}，0）$．
设椭圆C₁方程为$\frac{BE}{BA}=\frac{DE}{CA}$，
∵椭圆C₁过点$A（-\sqrt{2}，1）$，∴2a=|AF₁|+|AF₂|=4，得a=2．
∴${b^2}={a^2}-{（\sqrt{2}）^2}=2$．
∴椭圆C₁的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．
（2）设点Q（x，y），点P（x₁，y₁），
由$A（-\sqrt{2}，1）$及椭圆C₁关于原点对称可得$B（\sqrt{2}，-1）$，
∴$\overrightarrow{AQ}=（x+\sqrt{2}，y-1）$，$\overrightarrow{AP}=（{x_1}+\sqrt{2}，{y_1}-1）$，$\overrightarrow{BQ}=（x-\sqrt{2}，y+1）$，$\overrightarrow{BP}=（{x_1}-\sqrt{2}，{y_1}+1）$．
由$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{AP}=0$，得$（x+\sqrt{2}）（{x_1}+\sqrt{2}）+（y-1）（{y_1}-1）=0$，
即$（x+\sqrt{2}）（{x_1}+\sqrt{2}）=-（y-1）（{y_1}-1）$．  ①
同理，由$\overrightarrow{BQ}•\overrightarrow{BP}=0$，得$（x-\sqrt{2}）（{x_1}-\sqrt{2}）=-（y+1）（{y_1}+1）$．  ②
①×②得$（{x^2}-2）（{x_1}^2-2）=（{y^2}-1）（{y_1}^2-1）$．  ③
由于点P在椭圆C₁上，则$\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{2}=1$，得$x_1^2=4-2y_1^2$，
代入③式得$-2（y_1^2-1）（{x^2}-2）=（{y^2}-1）（y_1^2-1）$．
当$y_1^2-1≠0$时，有2x²+y²=5，
当$y_1^2-1=0$，则点$P（-\sqrt{2}，-1）$或$P（\sqrt{2}，1）$，
此时点Q对应的坐标分别为$（\sqrt{2}，1）$或$（-\sqrt{2}，-1）$，其坐标也满足方程2x²+y²=5，
∴点Q的轨迹方程为2x²+y²=5．
（3）点Q（x，y）到直线AB：$x+\sqrt{2}y=0$的距离为$\frac{{|x+\sqrt{2}y|}}{{\sqrt{3}}}$．△ABQ的面积为$S=\frac{1}{2}\sqrt{{{（\sqrt{2}+\sqrt{2}）}^2}+{{（-1-1）}^2}}•\frac{{|x+\sqrt{2}y|}}{{\sqrt{3}}}$=$|x+\sqrt{2}y|=\sqrt{{x^2}+2{y^2}+2\sqrt{2}xy}$．
而$2\sqrt{2}xy=2×（2x）×（\frac{y}{{\sqrt{2}}}）≤4{x^2}+\frac{y^2}{2}$（当且仅当$2x=\frac{y}{{\sqrt{2}}}$时等号成立），
∴$S=\sqrt{{x^2}+2{y^2}+2\sqrt{2}xy}≤\sqrt{{x^2}+2{y^2}+4{x^2}+\frac{y^2}{2}}=\sqrt{5{x^2}+\frac{5}{2}{y^2}}=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$．
当且仅当$2x=\frac{y}{{\sqrt{2}}}$时，等号成立．
由$\left\{{\begin{array}{l}{2x=\frac{y}{{\sqrt{2}}}}\\{2{x^2}+{y^2}=5}\end{array}}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}}\\{y=2}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}\\{y=-2}\end{array}}\right.$，
∴△ABQ的面积最大值为$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$，此时，点Q的坐标为$（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，2）$或$（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-2）$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、向量坐标运算性质、数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．