Question

15．已知数列{a_n}中，a₁=-1，a_n+1=2a_n+3n-1（n∈N^*），则其前n项和S_n=2ⁿ⁺²-4-$\frac{3{n}^{2}+7n}{2}$．

Answer 1

分析 a_n+1=2a_n+3n-1（n∈N^*），a₁=-1，可得a₂=0．n≥2时，a_n=2a_n-1+3n-4，相减可得：a_n+1-a_n+3=2（a_n-a_n-1+3），利用等比数列的通项公式可得：a_n-a_n-1+3，利用“累加求和”方法可得a_n．再利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=2a_n+3n-1（n∈N^*），a₁=-1，∴a₂=0．
n≥2时，a_n=2a_n-1+3n-4，
相减可得：a_n+1-a_n=2a_n-2a_n-1+3，
化为：a_n+1-a_n+3=2（a_n-a_n-1+3），
∴数列{a_n-a_n-1+3}为等比数列，首项为4，公比为2．
∴a_n-a_n-1+3=4×2^n-2，∴a_n-a_n-1=2ⁿ-3．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2ⁿ-3+2^n-1-3+…+2²-3-1，
=$\frac{4（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-3（n-1）-1
=2ⁿ⁺¹-3n-2．
∴其前n项和S_n=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-3×$\frac{n（n+1）}{2}$-2n=2ⁿ⁺²-4-$\frac{3{n}^{2}+7n}{2}$．
故答案为：2ⁿ⁺²-4-$\frac{3{n}^{2}+7n}{2}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、“累加求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．