Question

20．双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F到E的渐近线的距离为$\sqrt{3}a$，则E的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根据题意，求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得焦点F到渐近线ay-bx=0的距离为b，结合题意可得b=$\sqrt{3}a$，由双曲线的几何性质可得c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2a，进而由双曲线离心率公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的焦点在x轴上，则其渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，即ay±bx=0，
设F（c，0），F到渐近线ay-bx=0的距离d=$\frac{|a×0-b×c|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{|b×c|}{c}$=b，
又由双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一个焦点F到E的渐近线的距离为$\sqrt{3}a$，
则b=$\sqrt{3}a$，
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2a，
故双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=2；
故选：C．

点评 本题考查双曲线的几何性质，注意“双曲线的焦点到其渐近线的距离为b”．