Question

10．如图＜1＞：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=6，CE⊥AD于E点，把△DEC沿CE折到D'EC的位置，使$D'A=2\sqrt{3}$，如图＜2＞：若G，H分别为D'B，D'E的中点．
（Ⅰ）求证：GH⊥AD'；
（Ⅱ）求三棱锥D'-BCE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出D′A⊥AE，EC⊥AE，EC⊥D′E，从而EC⊥平面D′AE，进而AB⊥面D′AE，由此得到AB⊥D′A，从而D′A⊥面ABCD，进而D′A⊥BE，由此能证明D′A⊥GH．
（Ⅱ）三棱锥D'-BCE的体积${V}_{{D}^{'}-BCE}$=${V}_{C-{D}^{'}BC}$，由此能求出三棱锥D'-BCE的体积．

解答 证明：（Ⅰ）在△ADE中，∵AD'=2$\sqrt{3}$，D′E=4，AE=2，
∴AD^'2+AE²=D′E²，∴D′A⊥AE，
∵EC⊥AE，EC⊥D′E，AE∩D′E=E，
∴EC⊥平面D′AE，
∵AB∥EC，∴AB⊥面D′AE，∴AB⊥D′A，
∵AE∩AB=A，∴D′A⊥面ABCD，
又∵BE?平面ABCD，∴D′A⊥BE，
∵G，H分别为D′B，D′E的中点，连结BE，
∴GH∥BE，∴D′A⊥GH．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得D′A⊥面ABCD，
∴三棱锥D'-BCE的体积：
${V}_{{D}^{'}-BCE}$=${V}_{C-{D}^{'}BC}$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×\frac{1}{2}×2×2$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、空间思维能力、运算求解能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．