Question

1．若函数f（x）=ln（x²+1）的值域为{0，1，2}，从满足条件的所有定义域集合中选出2个集合，则取出的2个集合中各有三个元素的概率是（　　）

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{7}$
• C． $\frac{1}{8}$
• D． $\frac{1}{9}$

Answer 1

分析 由ln（x²+1）等于0，1，2求解对数方程分别得到x的值，然后利用列举法得到值域为{0，1，2}的所有定义域情况，则满足条件的函数个数可求，由此利用等可能事件概率计算公式能求出取出的2个集合中各有三个元素的概率．

解答 解：令ln（x²+1）=0，得x=0，
令ln（x²+1）=1，得x²+1=e，x=±$\sqrt{e-1}$，
令ln（x²+1）=2，得x²+1=e²，x=$±\sqrt{{e}^{2}-1}$．
则满足值域为{0，1，2}的定义域有：
{0，-$\sqrt{e-1}$，-$\sqrt{{e}^{2}-1}$}，{0，-$\sqrt{e-1}$，$\sqrt{{e}^{2}-1}$}，{0，$\sqrt{e-1}$，-$\sqrt{{e}^{2}-1}$}，
{0，$\sqrt{e-1}$，$\sqrt{{e}^{2}-1}$}，{0，-$\sqrt{e-1}$，$\sqrt{e-1}$，-$\sqrt{{e}^{2}-1}$}，{0，-$\sqrt{e-1}$，$\sqrt{e-1}$，$\sqrt{{e}^{2}-1}$}，
{0，-$\sqrt{e-1}$，-$\sqrt{{e}^{2}-1}$，$\sqrt{{e}^{2}-1}$}，{0，$\sqrt{e-1}$，-$\sqrt{{e}^{2}-1}$，$\sqrt{{e}^{2}-1}$}，
{0，-$\sqrt{e-1}$，$\sqrt{e-1}$，-$\sqrt{{e}^{2}-1}$，$\sqrt{{e}^{2}-1}$}．
则满足这样条件的函数的个数为9．
从满足条件的所有定义域集合中选出2个集合，
基本事件总数n=${C}_{9}^{2}=36$，
取出的2个集合中各有三个元素的函数个数为m=${C}_{4}^{2}=6$，
∴取出的2个集合中各有三个元素的概率是p=$\frac{m}{n}=\frac{1}{6}$．
故选：A．

点评 本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，以及函数的相关知识，同时考查学生的数据处理能力，是中档题．