Question

6．设数列{a_n}（n≥1，n∈N）满足a₁=2，a₂=6，且s_n+2+a_n=s_n+1+2a_n+1+2，若[x]表示不超过x的最大整数，则$[{\frac{2018}{a_1}+\frac{2018}{a_2}+\frac{2018}{a_3}+…+\frac{2018}{{{a_{2018}}}}}]$=2017．

Answer 1

分析 构造b_n=a_n+1-a_n，可判数列{b_n}是4为首项2为公差的等差数列，累加法可得a_n=n（n+1），裂项相消法可得答案．

解答 解：构造b_n=a_n+1-a_n，则b₁=a₂-a₁=4，
由题意可得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=b_n+1-b_n=2，
故数列{b_n}是4为首项2为公差的等差数列，
故b_n=a_n+1-a_n=4+2（n-1）=2n+2，
故a₂-a₁=4，a₃-a₂=6，a₄-a₃=8，…，a_n-a_n-1=2n，
以上n-1个式子相加可得a_n-a₁=$\frac{1}{2}$（n-1）（4+2n），
解得a_n=n（n+1），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
∴$\frac{2018}{{a}_{1}}$+$\frac{2018}{{a}_{2}}$+…+$\frac{2018}{{a}_{2018}}$=2108（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2018}$-$\frac{1}{2019}$）=2018（1-$\frac{1}{2019}$）=2018-$\frac{2018}{2019}$，
∴$[{\frac{2018}{a_1}+\frac{2018}{a_2}+\frac{2018}{a_3}+…+\frac{2018}{{{a_{2018}}}}}]$=2017，
故答案为：2017

点评 本题考查等差数列的通项公式，涉及等差数列的判定和累加法以及裂项相消法求和，属中档题．