Question

16．如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=2，AB=AE=1，M为矩形AEHD内一点，若∠MGF=∠MGH，MG和平面EFGH所成角的正切值为$\frac{1}{2}$，则点M到平面EFGH的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 取FG的中点N，作MO⊥EH于O，连接MN，ON，MH，OG，通过MG和平面EFGH所成角的正切值为$\frac{1}{2}$，推出$\frac{MO}{OG}$=$\frac{1}{2}$，然后求解即可．

解答 解：取FG的中点N，作MO⊥EH于O，连接MN，ON，MH，OG，
在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=2，AB=AE=1，M为矩形AEHD内一点，若∠MGF=∠MGH，可得△MNG≌△MGH，则△ONG≌△OGH，
所以ON=GH=AB=1，
因为N是FG的中点，所以NG=$\frac{1}{2}$FG=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×2=1，
所以在Rt△ONG中，OG=$\sqrt{O{N}^{2}+N{G}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$
MG和平面EFGH所成角的正切值为$\frac{1}{2}$，可得
$\frac{MO}{OG}$=$\frac{1}{2}$，则MO=$\frac{1}{2}OG$=$\frac{\sqrt{2}}{\;}2$．
则点M到平面EFGH的距离为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查直线与平面的所成角的求法，点到平面的距离的求法，考查转化思想以及计算能力．