Question

11．（1）已知实数a，b，c满足a+b+c=1，求a²+b²+c²的最小值；
（2）已知正数a，b，c满足a+b+c=1，求证：$（{a+\frac{1}{a}}）（{b+\frac{1}{b}}）（{c+\frac{1}{c}}）≥\frac{1000}{27}$．

Answer 1

分析 （1）根据柯西不等式即可得出3（a²+b²+c²）≥1，并且可确定a=b=c=$\frac{1}{3}$时取等号，这便求出了a²+b²+c²的最小值；
（2）左边展开由不等式$a+b+c≥3\root{3}{abc}$即可得出左边$≥（\root{3}{abc}+\frac{1}{\root{3}{abc}}）^{3}$，然后可构造函数$f（x）=（x+\frac{1}{x}）^{3}$（$x∈（0，\frac{1}{3}]$），通过求导判断单调性，从而求出该函数的最小值，进而得出$（x+\frac{1}{x}）^{3}≥\frac{1000}{27}$，从而该题得证．

解答 解：（1）由柯西不等式，
（a²+b²+c²）（1²+1²+1²）≥（a+b+c）²=1，当且仅当$a=b=c=\frac{1}{3}$时等号成立；
∴a²+b²+c²的最小值为$\frac{1}{3}$；
（2）证明：左边=$abc+（\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}）+（\frac{c}{ab}+\frac{b}{ac}+\frac{a}{bc}）+\frac{1}{abc}$
≥$abc+\frac{1}{abc}+3\root{3}{abc}+\frac{3}{{\root{3}{abc}}}$
=${（\root{3}{abc}+\frac{1}{{\root{3}{abc}}}）^3}$，构造函数$f（x）={（{x+\frac{1}{x}}）^3}$$（{x∈（0，\frac{1}{3}]}）$，则：
${f^'}（x）=3{（x+\frac{1}{x}）^2}（1-\frac{1}{x^2}）＜0$，函数f（x）在$（0，\frac{1}{3}]$上单调递减，最小值为$f（\frac{1}{3}）$=$\frac{1000}{27}$；
∴${（\root{3}{abc}+\frac{1}{{\root{3}{abc}}}）^3}$的最小值为$\frac{1000}{27}$；
∴$（{a+\frac{1}{a}}）（{b+\frac{1}{b}}）（{c+\frac{1}{c}}）≥\frac{1000}{27}$．

点评 考查柯西不等式，以及柯西不等式等号成立的条件，（a+b）³的展开式，不等式$a+b+c≥3\root{3}{abc}$的运用，构造函数解决问题的方法，根据导数判断函数单调性，以及根据函数单调性求函数最值的方法．