Question

3．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，取DE的中点F，则$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BC}$的值为（　　）

• A． $-\frac{5}{8}$
• B． $-\frac{1}{8}$
• C． $\frac{1}{8}$
• D． $\frac{11}{8}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，把$\overrightarrow{AF}$、$\overrightarrow{AC}$用$\overrightarrow{BA}$、$\overrightarrow{BC}$表示，再代入数量积公式计算即可．

解答 解：如图所示，
∵D、E分别是边AB、BC的中点，F是DE的中点，
∴$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BA}$），
∴$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DF}$
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DE}$
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BA}$）
=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{BC}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BA}$；
∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{BC}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BA}$）•$\overrightarrow{BC}$
=$\frac{1}{4}$${\overrightarrow{BC}}^{2}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$
=$\frac{1}{4}$×1²-$\frac{3}{4}$×1×1×cos$\frac{π}{3}$
=-$\frac{1}{8}$．
故选：B．

点评 本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，是基础题．