Question

14．已知函数$f（x）=sinxcos（{x+\frac{π}{6}}）+1$．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x的集合；
（Ⅱ）△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，$f（C）=\frac{5}{4}，b=2，\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=12$，求边长c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，再根据正弦函数的性质即可求出，
（Ⅱ）先求出C的值，再根据向量的数量积的运算和余弦定理即可求出．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=sinxcos（x+$\frac{π}{6}$）+1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosxsinx-$\frac{1}{2}$sin²x+1=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x-$\frac{1}{4}$cos2x-$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{4}$，
∵$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{4}$≤$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4}$=$\frac{5}{4}$，
∴最大值为$\frac{5}{4}$，
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ时，即x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，即{x|x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z}时，函数取的最大值，
（Ⅱ）∵f（C）=$\frac{1}{2}$sin（2C-$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{4}$=$\frac{5}{4}$，
即sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，
∴C=$\frac{π}{3}$，
∵$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=12，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{BC}$|cos$\frac{π}{3}$=2a×$\frac{1}{2}$=12，
∴a=12，
由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC=144+4-2×12×2×$\frac{1}{2}$=124，
∴c=2$\sqrt{31}$

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象和性质以及预先定理和向量的数量积，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．