Question

1．某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为$\frac{π}{3}$（∠ACB=$\frac{π}{3}$），墙AB的长度为6米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记∠ABC=θ
（1）若θ=$\frac{π}{4}$，求△ABC的周长（结果精确到0.01米）；
（2）为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积△ABC的面积尽可能大，问当θ为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，由正弦定理可得AC，BC，即可求△ABC的周长；
（2）利用余弦定理列出关系式，将c，cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，利用三角形的面积公式求出面积的最大值，以及此时θ的值．

解答 解：（1）在△ABC中，由正弦定理可得AC=$\frac{6•\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{6}$，BC=$\frac{6sin75°}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∴△ABC的周长为6+3$\sqrt{2}$+3$\sqrt{6}$≈17.60米
（2）在△ABC中，由余弦定理：c²=60²=a²+b²-2abcos60°，
∴a²+b²-ab=36，
∴36+ab=a²+b²≥2ab，即ab≤36，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC•sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤9$\sqrt{3}$，
此时a=b，△ABC为等边三角形，
∴θ=60°，（S_△ABC）_max=9$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了正弦定理、余弦定理，基本不等式的应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．