Question

9．已知函数g（x）=e^x（x+1）．
（1）求函数g（x）在（0，1）处的切线方程；
（2）设x＞0，讨论函数h（x）=g（x）-a（x³+x²）（a＞0）的零点个数．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定切线的斜率，即可求函数g（x）在（0，1）处的切线方程；
（2）h（x）=g（x）-a（x³+x²）=0，可得a=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，确定函数的单调性，可得函数的极小值，即可得出结论．

解答 解：（1）g′（x）=e^x（x+2），g′（0）=2，
∴函数g（x）在（0，1）处的切线方程为y-1=2x，即l：y=2x+1（4分）
（2）h（x）=g（x）-a（x³+x²）=0，可得a=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
设y=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，则y′=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{{x}^{3}}$，函数在（0，2）上单调递减，（2，+∞）上单调递增，
∴x=2函数取得极小值$\frac{{e}^{2}}{4}$，
∴$a=\frac{e^2}{4}$，零点1个；  $a＞\frac{e^2}{4}$，零点2个；$0＜a＜\frac{e^2}{4}$，零点0个  （8分）

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性的运用，属于中档题．