Question

6．如图，A₁，A₂为椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T为椭圆上不同于A₁，A₂的三点，直线QA₁，QA₂，OS，OT围成一个平行四边形OPQR，则|OS|²+|OT|²=（　　）

• A． 14
• B． 12
• C． 9
• D． 7

Answer 1

分析 利用椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、两点之间的距离公式即可得出．

解答 解：设Q（x，y），T（x₁，y₁），S（x₂，y₂），QA₁，QA₂斜率分别为k₁，k₂，
则OT，OS的斜率为k₁，k₂，且${k_1}{k_2}=\frac{y}{x+3}•\frac{y}{x-3}=\frac{y^2}{{{x^2}-9}}=-\frac{5}{9}$，
所以$O{T^2}={x_1}^2+{y_1}^2={x_1}^2+{k_1}^2{x_1}^2=\frac{{45（{1+{k_1}^2}）}}{{5+9{k_1}^2}}$，同理$O{S^2}=\frac{{45（{1+{k_2}^2}）}}{{5+9{k_2}^2}}$，
因此${|{OS}|^2}+{|{OT}|^2}=\frac{{45（{1+{k_1}^2}）}}{{5+9{k_1}^2}}+\frac{{45（{1+{k_2}^2}）}}{{5+9{k_2}^2}}=\frac{{45（{1+{k_1}^2}）}}{{5+9{k_1}^2}}+\frac{{45（{1+\frac{25}{{81{k_1}^2}}}）}}{{5+\frac{25}{{9{k_1}^2}}}}$=$\frac{{45（{1+{k_1}^2}）}}{{5+9{k_1}^2}}+\frac{{81{k_1}^2+25}}{{5+9{k_1}^2}}=\frac{{126{k_1}^2+70}}{{5+9{k_1}^2}}=14$．
故选：A．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、斜率计算公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．