Question

11．在△ABC中，2cos2A+3=4cosA．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由2cos2A+3=4cosA，利用倍角公式可得$2co{s^2}A+\frac{1}{2}=2cosA$，化简解出即可得出．
（2）利用正弦定理、和差公式、三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）因为2cos2A+3=4cosA，所以$2co{s^2}A+\frac{1}{2}=2cosA$，
所以4cos²A-4cosA+1=0，
所以$cosA=\frac{1}{2}$．
又因为0＜A＜π，所以$A=\frac{π}{3}$．
（2）因为$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，$A=\frac{π}{3}$，a=2，
所以$b=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sinB，c=\frac{4}{{\sqrt{3}}}{sinC}$，
所以$l=2+b+c=2+\frac{4}{{\sqrt{3}}}（{sinB+{sinC}}）$．
因为$B+C=\frac{2π}{3}$，
所以$l=2+\frac{4}{{\sqrt{3}}}[{sinB+sin（{\frac{2π}{3}-B}）}]=2+sin（{B+\frac{π}{6}}）$．
又因为$0＜B＜\frac{2π}{3}$，所以$\frac{1}{2}＜sin（{B+\frac{π}{6}}）≤1$，所以l∈（4，6]．

点评 本题考查了倍角公式、正弦定理、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．