Question

16．已知函数f（x）=2lnx+ax-$\frac{4f′（2）}{x}$（a∈R）在x=2处的切线经过点（-4，ln2）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若不等式$\frac{2xInx}{{1-{x^2}}}$＞mx-1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出a的值，得到导函数的符号，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为$\frac{1}{{1-{x^2}}}（{2Inx+\frac{{1-{x^2}}}{x}}）＞m$，令$φ（x）=2Inx+\frac{{1-{x^2}}}{x}$$φ'（x）=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}-1=-{（{\frac{1}{x^2}-1}）^2}≤0$，根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{2}{x}+a+\frac{4f'（2）}{x^2}$，令x=2，∴f'（2）=1+a+f'（2），
∴a=-1，设切点为（2，2ln2+2a-2f'（2）），
则y-（2ln2+2a-2f'（2））=f'（2）（x-2），
代入（-4，2ln2）得：2ln2-2ln2-2a+2f'（2）=-6f'（2），
∴$f'（2）=-\frac{1}{4}$，
∴$f'（x）=\frac{2}{x}-1-\frac{{-{{（{x-1}）}^2}}}{x^2}≤0$，
∴f（x）在（0，+∞）单调递减；
（2）$\frac{2xInx}{{1-{x^2}}}＞mx-1$恒成立$\frac{1}{{1-{x^2}}}（{2Inx+\frac{{1-{x^2}}}{x}}）＞m$，
令$φ（x）=2Inx+\frac{{1-{x^2}}}{x}$$φ'（x）=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}-1=-{（{\frac{1}{x^2}-1}）^2}≤0$，
∴φ（x）在（0，+∞）单调递减，
∵φ（1）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}x∈（{0，1}），φ（x）＞0\\ x∈（{1，+∞}），φ（x）＜0\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{{1-{x^2}}}φ（x）$在（0，+∞）恒大于0，
∴m≤0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．