Question

13．如图所示，在直角梯形ABEF中，将DCEF沿CD折起使∠FDA=60°，得到一个空间几何体．
（1）求证：AF⊥平面ABCD；
（2）求三棱锥E-BCD的体积．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理求出AF=$\sqrt{3}$，由勾股定理得AF⊥AD，再由DC⊥FD，DC⊥AD，得DC⊥平面ADE，从而DC⊥AF，由此能证明AF⊥平面ABCD．
（2）由题意知DF=2，CE=1，AF=$\sqrt{3}$，BC⊥DC，BC=DC=1，E到平面ABCD的距离d=$\frac{1}{2}AF$，由此能求出三棱锥E-BCD的体积．

解答 证明：（1）由于∠FDA=60°，FD=2，AD=1，
∴AF²=FD²+AD²-2×FD×AD×cos∠FDA=4+1-2×2×1×$\frac{1}{2}$=3，
即AF=$\sqrt{3}$，∴AF²+AD²=FD²，∴AF⊥AD．
又∵DC⊥FD，DC⊥AD，AD∩FD=D，
AD，DF?平面ADF
∴DC⊥平面ADE，AF?平面ADF，
∴DC⊥AF，
∵AD∩DC=D，AD，DC?平面ABCD．
∴AF⊥平面ABCD．
解：（2）由题意知DF=2，CE=1，AF=$\sqrt{3}$，BC⊥DC，
BC=DC=1，
∴S_△BDC=$\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，E到平面ABCD的距离d=$\frac{1}{2}AF$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴三棱锥E-BCD的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△BCD}×d$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．