Question

3．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．
（1）证明：平面AEC⊥平面BED．
（2）若∠ABC=120°，AE⊥EC，AB=2，求点G到平面AED的距离．

Answer 1

分析 （1）只需证明AC⊥BD，AC⊥BE，即可证明AC⊥平面BED，
（2）取AD中点为M，连接EM．设点G到平面AED的距离为为h，则
三棱锥E-ADG的体积为${V}_{E-ADG}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AG×DG×BE$=${V}_{G-ADE}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AD×EM×h$，
可求得点G到平面AED的距离

解答 解：（1）证明：因为四边形ABCD为菱形，
所以AC⊥BD，…（1分）
因为BE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以AC⊥BE，…（2分）
又因为DB∩BE=B，所以AC⊥平面BED．…（3分）
又AC?平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED．…（5分）
（2）取AD中点为M，连接EM．
因为∠ABC=120°．，AB=2，
所以AB=DB=2，AG=$\sqrt{3}$，DG=1，
因为AE⊥EC，所以EG=$\frac{1}{2}AC$=$\sqrt{3}$，所以BE=$\sqrt{2}$，…（6分）
所以AE=DE=$\sqrt{6}$，
又所以AD中点为M，所以EM⊥AD且EM=$\sqrt{5}$．设点G到平面AED的距离为为h，
则三棱锥E-ADG的体积为
V${V}_{E-ADG}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AG×DG×BE$=${V}_{G-ADE}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AD×EM×h$，
即$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1×\sqrt{2}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{5}×h$，
解得h=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
所以点G到平面AED的距离为$\frac{\sqrt{30}}{10}$．…（10分）
 

点评 本题考查了空间线面垂直的判定，等体积法求点面距离．属于中档题．