Question

8．我国科研人员屠呦呦发现从青篙中提取的青篙素抗疟性超强，几乎达到100%，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．
（1）写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f（t）；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于$\frac{1}{9}$微克时，治疗有效，求服药一次后治疗有效的时间是多长？

Answer 1

分析 （1）根据图象，设$y=\left\{\begin{array}{l}{kt}&{0≤t≤1}\\{（\frac{1}{3}）^{t-a}}&{t＞1}\end{array}\right.$，根据t=1，y=9即可求出k和a，从而得出函数关系式y=f（t）；
（2）根据y$≥\frac{1}{9}$即可求出t的取值范围，从而求出治疗有效的时间长．

解答 解：（1）设$y=\left\{\begin{array}{l}kt，0≤t≤1\\{（{\frac{1}{3}}）^{t-a}}，t＞1\end{array}\right.$，
当t=1时，由y=9得k=9，由${（{\frac{1}{3}}）^{1-a}}=9$得a=3；
∴$y=\left\{\begin{array}{l}9t，0≤t≤1\\{（{\frac{1}{3}}）^{t-3}}，t＞1\end{array}\right.$；
（2）由$y≥\frac{1}{9}$得$\left\{\begin{array}{l}0≤t≤1\\ 9t≥\frac{1}{9}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}t＞1\\{（{\frac{1}{3}}）^{t-3}}≥\frac{1}{9}\end{array}\right.$；
解得$\frac{1}{81}≤t≤5$；
∴服药一次后治疗有效的时间长是$5-\frac{1}{81}=4\frac{80}{81}$小时．

点评 考查分段函数的概念及表示，待定系数求函数解析式的方法，以及对数的运算．