Question

9．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，且|AB|=4，离心率为$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点Q（4，0），若点P在直线x=4上，直线BP与椭圆交于另一点M．判断是否存在点P，使得四边形APQM为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由|AB|=4，得a=2．又$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，b²=a²-c²，联立解出即可得出．
（Ⅱ）假设存在点P，使得四边形APQM为梯形．由题意知，显然AM，PQ不平行，可得AP∥MQ，$\frac{|BQ|}{|AB|}=\frac{|BM|}{|BP|}$，$\frac{|BM|}{|BP|}=\frac{1}{2}$．设点M（x₁，y₁），P（4，t），过点M作MH⊥AB于H，可得$\frac{|BH|}{|BQ|}=\frac{|BM|}{|BP|}=\frac{1}{2}$，解得x₁，代入椭圆方程，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由|AB|=4，得a=2．
又因为$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，所以c=1，所以b²=a²-c²=3，
所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）假设存在点P，使得四边形APQM为梯形．
由题意知，显然AM，PQ不平行，所以AP∥MQ，
所以$\frac{|BQ|}{|AB|}=\frac{|BM|}{|BP|}$，所以$\frac{|BM|}{|BP|}=\frac{1}{2}$．
设点M（x₁，y₁），P（4，t），
过点M作MH⊥AB于H，则有$\frac{|BH|}{|BQ|}=\frac{|BM|}{|BP|}=\frac{1}{2}$，
所以|BH|=1，所以H（1，0），所以x₁=1，
代入椭圆方程，求得${y_1}=±\frac{3}{2}$，
所以P（4，±3）．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、平行线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．