Question

13．已知集合A={a₁，a₂，…，a_n}，a_i∈R，i=1，2，…，n，并且n≥2． 定义$T（A）=\sum_{1≤i＜j≤n}{|{a_j}-{a_i}}|$（例如：$\sum_{1≤i＜j≤3}{|{a_j}-{a_i}|}=|{a_2}-{a_1}|+|{a_3}-{a_1}|+|{a_3}-{a_2}|$）．
（Ⅰ）若A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，M={1，2，3，4，5}，集合A的子集N满足：N≠M，且T（M）=T（N），求出一个符合条件的N；
（Ⅱ）对于任意给定的常数C以及给定的集合A={a₁，a₂，…，a_n}，求证：存在集合B={b₁，b₂，…，b_n}，使得T（B）=T（A），且$\sum_{i=1}^n{b_i}=C$．
（Ⅲ）已知集合A={a₁，a₂，…，a_2m}满足：a_i＜a_i+1，i=1，2，…，2m-1，m≥2，a₁=a，a_2m=b，其中a，b∈R为给定的常数，求T（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据新定义即可求出答案，
（Ⅱ）够造新数列B={d+a₁，d+a₂，…，d+a_n}，根据新定义可得取d=$\frac{c-\sum_{i=1}^{n}{a}_{i}}{n}$即可证明．
（Ⅲ）利用数学归纳法即可证明．

解答 解：（I）N={6，7，8，9，10}．
（II）证明：令B={d+a₁，d+a₂，…，d+a_n}，（d为待定参数）．
T（B）=$\sum_{1≤i＜j≤n}^{\;}$|（d+a_i）-（d+a_j）|=$\sum_{1≤i＜j≤n}^{\;}$|a_j-a_i|=T（A），$\sum_{i=1}^{n}{b}_{i}$=nd+$\sum_{i=1}^{n}{a}_{i}$=c，
取d=$\frac{c-\sum_{i=1}^{n}{a}_{i}}{n}$即可．
（3）下面利用数学归纳法证明$\sum_{1≤i＜j≤n}^{\;}$|a_j-a_i|=$\sum_{k=1}^{m}$（2m+1-2k）（a_2m+1-2k-a_k），
当m=2时，$\sum_{1≤i＜j≤n}^{\;}$|a_j-a_i|=|a₄-a₃|+|a₃-a₂|+|a₂-a₁|+|a₄-a₂|+|a₃-a₁|+|a₄-a₁|=3（a₄-a₁）+（|a₃-a₂）．成立．
假设结论对m时成立，下面证明m+1时的情形．
$\sum_{1≤i＜j≤m+1}^{\;}$|a_j-a_i|=$\sum_{1≤i＜j≤n}^{\;}$|a_j-a_i|+|$\sum_{i=1}^{2m}$（a_2m+1-a_i）+$\sum_{i=1}^{2m+1}$（a_2m+2-a_i）
=$\sum_{k=1}^{m}$（2m+1-2k）（a_2m+1-k-a_k）+$\sum_{i=1}^{2m}$（a_2m+1-a_i）+$\sum_{i=1}^{2m+1}$（a_2m+2-a_i）
=$\sum_{k=1}^{m}$（2m+1-2k）（a_2m+1-k-a_k）+（2m-1）a_2m+1+（2m+1）a_2m+2-2$\sum_{i=1}^{2m}$a_i，
=$\sum_{k=1}^{m+1}$（2m+3-2k）（a_2m+3-k-a_k），
即T（A）＜$\sum_{k=1}^{m}$（2m+1-2k）（a_2m-2k-a_k）=m²（b-a）

点评 本题考查了数列在新定义中的应用，以及数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．