Question

3．直线y=m分别与曲线y=2（x+1），与y=x+lnx交于点A，B，则|AB|的最小值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 设A（x₁，a），B（x₂，a），则2x₁+2=x₂+lnx₂，表示出x₁，求出|AB|，利用导数求出|AB|的最小值．

解答 解：设A（x₁，a），B（x₂，a），则2x₁+2=x₂+lnx₂，
∴x₁=$\frac{1}{2}$（x₂+lnx₂）-1，
∴|AB|=x₂-x₁=$\frac{1}{2}$（x₂-lnx₂）+1，
令y=$\frac{1}{2}$（x-lnx）+1，则y′=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{x}$），
∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴x=1时，函数的最小值为$\frac{3}{2}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求导确定函数的单调性是关键．