Question

1．已知双曲线${C_1}：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$与圆${C_2}：{x^2}+{y^2}={c^2}$（c是双曲线的半焦距）相交于第二象限内一点M，点N在x轴下方且在圆C₂上，又F₁，F₂分别是双曲线C₁的左右焦点，若$∠{F_2}NM=\frac{π}{3}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}+1$
• D． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$

Answer 1

分析 由题意可得，三角形F₁F₂P是有一个内角为60°角的直角三角形，根据此直角三角形，结合双曲线的离心率的定义即可求得双曲线的离心率．

解答 解：由题设知圆C₂的直径为F₁F₂，
则$∠{F_1}M{F_2}=\frac{π}{2}$，
又$∠M{F_1}{F_2}=∠{F_2}NM=\frac{π}{3}$，
所以$∠{F_1}{F_2}M=\frac{π}{6}$，所以|MF₁|=c，$|{M{F_2}}|=\sqrt{3}c$，
由双曲线的定义得|MF₂|-|MF₁|=2a，即$（\sqrt{3}-1）c=2a$，
所以$e=\frac{2}{{\sqrt{3}-1}}=\sqrt{3}+1$，
故选C．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的定义的运用，属于中档题．