Question

11．已知曲线C：x²=2py（p≠0）与直线x-y-1=0相切，过曲线C的准线上任一点M引曲线C的切线，切点分别为A、B．
（1）求P的值；
（2）求△MAB面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲线C：x²=2py（p≠0）与直线x-y-1=0联立，可得x²-2px+2p=0，利用△=4p²-8p=0，即可求p的值；
（2）表示出△MAB面积，换元，利用函数的单调性，即可求△MAB面积的最小值．

解答 解：（1）曲线C：x²=2py（p≠0）与直线x-y-1=0联立，可得x²-2px+2p=0
△=4p²-8p=0，∵p≠0∴p=2…（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x²=4y，准线y=-1…（5分）
M（t，-1），y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$，…（6分）
切线PA：y-y₁=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），∴y=$\frac{1}{2}$x₁x-y₁，
经过M（t，-1）∴-1=$\frac{1}{2}$x₁t-y₁，
同理可求-1=$\frac{1}{2}$x₂t-y₂，∴AB的方程为-1=$\frac{1}{2}$xt-y，
即y=$\frac{1}{2}$tx+1 …（8分）
代入抛物线方程可得x²-2tx-4=0，x₁+x₂=2t，x₁•x₂=-4，
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}{t}^{2}}$|x₁-x₂|=t²+4，
M点到AB距离d=$\frac{|\frac{1}{2}{t}^{2}+2|}{\sqrt{1+\frac{1}{4}{t}^{2}}}$=$\sqrt{{t}^{2}+4}$，
△MAB面积S=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{t}^{2}+4}$•（t²+4），
令$\sqrt{{t}^{2}+4}$=a（a≥2），f（a）=$\frac{1}{2}{a}^{3}$在[2，+∞）上单调递增，∴f（a）≥4，
∴△MAB面积的最小值为4       …（12分）

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．