Question

18．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P（x₀，$\frac{5}{2}$）为双曲线上一点，若△PF₁F₂的内切圆半径为1，且圆心G到原点O的距离为$\sqrt{5}$，则双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{8{y}^{2}}{25}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{6}$-$\frac{2{y}^{2}}{25}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{50}$=1

Answer 1

分析 利用圆心G到原点O的距离为$\sqrt{5}$，求出a，利用等面积，结合双曲线的定义，求出P的坐标，即可得出结论．

解答 解：设圆与F₁F₂，PF₁，PF₂的切点分别为A，B，D．则OA=a，
故$\sqrt{{a}^{2}+1}$=$\sqrt{5}$，即a=2．
又△PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}×2c×\frac{5}{2}$=$\frac{1}{2}$（|F₁F₂|+|PF₁|+|PF₂|×1，
∴|PF₁|+|PF₂|=3c，
∵|PF₁|-|PF₂|=2a，
∴|PF₁|=$\frac{3c+2a}{2}$，|PF₂|=$\frac{3c-2a}{2}$，
∵|PF₁|=$\sqrt{（{x}_{0}+c）^{2}+\frac{25}{4}}$，|PF₂|=$\sqrt{（{x}_{0}-c）^{2}+\frac{25}{4}}$，联立化简得x₀=3．
P代入双曲线方程，联立解得b=$\sqrt{5}$，
即有双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
故选B．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．