Question

13．数列{a_n}中，已知a₁=1，a₂=a，a_n+1=k（a_n+a_n+2）对任意n∈N^*都成立，数列{a_n}的前n项和为S_n．（这里a，k均为实数）
（1）若{a_n}是等差数列，求S_n；
（2）若a=1，k=-$\frac{1}{2}$，求S_n；
（3）是否存在实数k，使数列{a_n}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项a_m，a_m+1，a_m+2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知求得公差，再由等差数列前n项和求得答案；
（2）把k=-$\frac{1}{2}$代入a_n+1=k（a_n+a_n+2），可得a_n+2+a_n+1=-（a_n+1+a_n），a_n+3+a_n+2=-（a_n+2+a_n+1）=a_n+1+a_n，然后分n为奇数和偶数求得S_n；
（3）设数列{a_n}是等比数列，则它的公比q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=a，得到${a}_{m}={a}^{m-1}，{a}_{m+1}={a}^{m}，{a}_{m+2}={a}^{m+1}$，然后分若a_m+1为等差中项，a_m为等差中项和a_m+2为等差中项三类求解得答案．

解答 解：（1）∵a₁=1，a₂=a，且a_n+1=k（a_n+a_n+2），
∴1+n（a-1）=k[1+（n-1）（a-1）+1+（n+1）（a-1）]，解得k=$\frac{1}{2}$．
${S}_{n}=n+\frac{n（n-1）（a-1）}{2}$=$\frac{（a-1）{n}^{2}-（a-3）n}{2}$；
（2）由a=1，k=-$\frac{1}{2}$，得${a}_{n+1}=-\frac{1}{2}（{a}_{n}+{a}_{n+2}）$，
∴a_n+2+a_n+1=-（a_n+1+a_n），a_n+3+a_n+2=-（a_n+2+a_n+1）=a_n+1+a_n，
当n是偶数时，S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n-1+a_n
=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）
=$\frac{n}{2}$（a₁+a₂）=n．
当n是奇数时，S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n-1+a_n
=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_n-1+a_n）
=a₁+$\frac{n-1}{2}$（a₂+a₃）=a₁+$\frac{n-1}{2}$[-（a₁+a₂）]
=1-（n-1）=2-n，n=1也适合上式，
综上可得，S_n=$\left\{\begin{array}{l}{2-n，（n=2k-1，k∈{N}^{*}）}\\{n，（n=2k，k∈{N}^{*}）}\end{array}\right.$；
（3）设数列{a_n}是等比数列，则它的公比q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=a，
∴${a}_{m}={a}^{m-1}，{a}_{m+1}={a}^{m}，{a}_{m+2}={a}^{m+1}$，
①若a_m+1为等差中项，则2a_m+1=a_m+a_m+2，
即2a^m=a^m-1+a^m+1，解得：a=1，不合题意；
②若a_m为等差中项，则2a_m=a_m+1+a_m+2，
即2a^m-1=a^m+a^m+1，化简得：a²+a-2=0，
解得a=-2（舍1）；k=$\frac{{a}_{m+1}}{{a}_{m}+{a}_{m+2}}=\frac{{a}^{m}}{{a}^{m-1}+{a}^{m+1}}=\frac{a}{1+{a}^{2}}$=-$\frac{2}{5}$；
③若a_m+2为等差中项，则2a_m+2=a_m+1+a_m，
即2a^m+1=a^m+a^m-1，化简得：2a²-a-1=0，
解得a=-$\frac{1}{2}$；k=$\frac{{a}_{m+1}}{{a}_{m}+{a}_{m+2}}=\frac{{a}^{m}}{{a}^{m-1}+{a}^{m+1}}=\frac{a}{1+{a}^{2}}$=-$\frac{2}{5}$．
综上可得，满足要求的实数k有且仅有一个，k=-$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查数列递推式，考查满足条件的实数值的求法，考查数列的前n项和公式的求法，解题时要注意等差数列和等比数列的性质的合理运用，是中档题．