Question

5．已知$\overrightarrow{a}$=（2+sin x，1），$\overrightarrow{b}$=（2，-2），$\overrightarrow{c}$=（sin x-3，1），$\overrightarrow{d}$=（1，k）（x∈R，k∈R）．
（1）若x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，且$\overrightarrow{a}$∥（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$），求x的值；
（2）若函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）首先利用坐标表示（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$），然后根据向量平行求得sinx的值，根据角的范围求x；
（2）由数量积公式得到f（x）的表达式，根据正弦函数的有界性求最小值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=（sin x-1，-1），又$\overrightarrow{a}$∥（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$），
∴-（2+sin x）=sin x-1，即sin x=-$\frac{1}{2}$．
又x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，∴x=-$\frac{π}{6}$．
（2）∵$\overrightarrow{a}$=（2+sin x，1），$\overrightarrow{b}$=（2，-2），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2（2+sin x）-2=2sin x+2．
又x∈R，
∴当sin x=-1时，f（x）有最小值，且最小值为0．

点评 本题考查了平面向量的加法、向量平行以及数量积的坐标运算；属于基础题．